domingo, 1 de agosto de 2010

SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO

La suma de las amplitudes de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º





Hipótesis: abc triángulo

Tesis: A + B + C = 180º








Demostración:

Trazamos por el vértice C una recta r paralela a AB. Así quedan determinados dos ángulos, 1 y 2, que sumados a C forman un ángulo llano

1 + C + 2 = 180º


1 = A por alternos internos entre r // AB y transversal AC

2 = B por alternos internos entre r // AB y transversal BC




ÁNGULO INTERIOR: Un ángulo interior es un ángulo formado por dos lados de un polígono que comparten un extremo común y que está contenido dentro del polígono. Un polígono simple tiene exactamente un ángulo interior por cada vértice.
Si todos los ángulos interiores de un polígono miden no más de 180º, el polígono se clasifica como polígono convexo. Si todos los ángulos interiores de un polígono convexo son iguales, el polígono es un polígono regular. En caso contrario es un polígono irregular.

SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO REGULAR

La suma de los ángulos interiores de un polígono regular tiene un valor que depende del número de lados del polígono y se mantiene constante para cualquier combinación de valores de los ángulos internos.
El valor de ésta suma en grados puede conocerse aplicando la fórmula:

Suma de ángulos interiores de un polígono regular = 180º (n - 2)

ÁNGULO EXTERIOR

PROPIEDAD DE LOS ÁNGULOS EXTERIORES DE UN TRIÁNGULO



La amplitud de cada ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las amplitudes de los ángulos interiores no adyacentes a él.

a = b + c



ÁNGULO EXTERIOR




Los ángulos beta, beta', delta y delta' son ángulos exteriores de éste hexágono irregular. Los ángulos alfa y beta son suplementarios. Como beta es igual a beta', también serán suplementarios alfa y beta'.





Un ángulo exterior o ángulo externo es el ángulo formado por un lado de un polígono y la prolongación del lado adyacente. En cada vértice de un polígono es posible conformar dos ángulos exteriores que poseen la misma amplitud. Cada ángulo exterior es suplementario del ángulo interior que comparte el mismo vértice.
Respecto del ángulo interior (alfa), la medida del ángulo exterior adyacente será:
Beta = 180º - alfa = Beta'

SUMA DE LOS ÁNGULOS EXTERIORES DE UN POLÍGONO

La suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a 360º cuando se considera solamente un ángulo exterior por cada vértice del polígono, sin importar el número de lados de éste. Cuando se consideran los dos ángulos exteriores posibles de cada vértice, la suma de todos ellos es igual a 720º.

Demostración:

En un polígono regular, la suma de ángulos interiores es:

180º (n - 2) =

180ºn - 360º = n.alfa

Como alfa = 180º - beta

Entonces, n.alfa = 180ºn - n.beta

Luego, reemplazamos n.alfa

180ºn - 360º = 180ºn - n.beta

Por lo tanto n.beta = 360º y 2n.beta = 720º, siendo 2n.beta la suma de los ángulos exteriores de un polígono.

CÁLCULO DE LOS ÁNGULOS EXTERIORES DE UN POLÍGONO REGULAR
Con base a la regla anterior, se puede calcular el valor en grados de un ángulo externo de un polígono regular dividiendo 360º entre el número de lados n del polígono.

360º / n

Ejemplo: en un octágono: dividimos 360º entre 8 lados, por lo que se obtiene que cada ángulo medirá 45º.

TRISECCIÓN DEL ÁNGULO

La trisección del ángulo es, junto a la cuadratura del circulo y a la duplicación del cubo, uno de los problemas clásicos de la matemática de la antigua grecia. Se ha demostrado que éstos tres problemas, en general, son imposibles de resolver usando unicamente regla y compás, aunque son muy recurridas las aproximaciones.


La trisección del ángulo fue el tercer problema clásico de la antigüedad griega. Se pretendía trisecar un ángulo, o dicho de otra forma, dividirlo en tres partes perfectamente iguales, usando solo una regla (no graduada) y un compás. Esto, en general, no es posible. Un ejemplo sencillo en dónde si es posible es dividir el ángulo de 90º en 30º. La división de un ángulo cualquiera es su tercera parte, puede lograrse introduciendo curvas auxiliares que permitan su construcción.













En la figura se usa la trisectriz para dividir el ángulo AÔB en su tercera parte, el ángulo BÔQ.